DÖRTGENLER KONU ANLATIMI-%100 Vishne suyu

DÖRTGENLER

Tanım: Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın dört doğru parçasıyla birleştirilmesinden elde dilen çokgene DÖRTGEN denir. A,B,C,D noktalarına dörtgenin köşeleri [AB],[BC],[CD],[DA] doğru parçalarına ise kenarları denir. ABCD dörtgenin kenar uzunluklarını [AB]=a , [BC]=b , [CD]=c , [DA]=d [AC]köşegen uzunluğunu e , [BD] köşegen uzunluğunu ise f ile göstereceğiz.(Şek.1)

*Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=360⁰

*Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

m(A’)+m(B’)+m(C’)+m(D’)=360⁰

*Bir dörtgenin aynı kenara bitişik iki açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısıdır. X=

‘dir. (Şek.2)

*Bir dörtgenin karşılıklı iki açısının açıortayları arasındaki açılardan küçüğün ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının yarısıdır. X=

(Şek.3)

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde [AC]

[DB]= {P} , [AC]=e [BD]=f ise

A(ABCD)=

e. f. sin

(Şek.4)

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde S₁.S₃ = S₂.S₄ tür. (Şek.5)

*Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir ın köşeleridir.(Şek.6)

*Bir dörtgende karşılıklı iki açı dik ise, bu açıların bitişik kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.(Şek.7)

İSPAT: ADC üçgeninde [AC]²=[DA]²+ [DC]²

ABC üçgeninde [AC]²=[AB]²+ [BC]² Buradan;

[AB]²+ [BC]²= [DC]² + [DA]² elde edilir.

*Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.(Şek.8)

İSPAT: AOB üçgeninde [AB]² = [AO]² + [BO]² DOC üçgeninde [DC]² = [DO]² + [OC]² taraf tarafa toplanırsa

[AB]² + [DC]² = [AO]² + [DO]² +[BO]² +[OC]² (1)

AOD üçgeninde [AD]² = [AO]² + [DO]² BOC üçgeninde [BC]² = [BO]² + [OC]² taraf tarafa toplarsak

[AD]² + [BC]² = [AO]² +[DO]² + [BO]² + [OC]² (2)

( 1) ve (2) eşitliklerinin sağ taraflarının eşit olduğunu görüyoruz. Öyleyse;

[AB]² + [CD]² = [BC]² + [DA]²

*Bir dörtgende karşılıklı iki kenar ile köşegenlerin orta noktaları bir paralel kenarın köşeleridir. Bu paralel kenarın çevresi, dörtgenin diğer iki kenar uzunluğunun toplamı kadardır.(Şek.9)

İSPAT: E,F,G,H sırasıyla [AB],[BD], [CD] ve [AC] nin orta noktalarıdır.

CAB üçgeninde EH // BC CDB üçgeninde GF // BC ise EF // GF (1)

DAC üçgeninde GH // DA DAB üçgeninde EF // DA ise GH // EF (2)

( 1) ve (2)’den EFGH paralel kenar olur. Bu paralel kenarın çevresi de [AD] + [BC] ‘dir.