DÖRTGENLER KONU ANLATIMI

DÖRTGENLER

Tanım: Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın dört doğru parçasıyla birleştirilmesinden elde dilen çokgene DÖRTGEN denir. A,B,C,D noktalarına dörtgenin köşeleri [AB],[BC],[CD],[DA] doğru parçalarına ise kenarları denir. ABCD dörtgenin kenar uzunluklarını [AB]=a , [BC]=b , [CD]=c , [DA]=d [AC]köşegen uzunluğunu e , [BD] köşegen uzunluğunu ise f ile göstereceğiz.(Şek.1)

*Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

     m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=360⁰

*Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

     m(A’)+m(B’)+m(C’)+m(D’)=360⁰

*Bir dörtgenin aynı kenara bitişik iki açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısıdır. X= ‘dir. (Şek.2)

*Bir dörtgenin karşılıklı iki açısının açıortayları arasındaki açılardan küçüğün ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının yarısıdır. X=(Şek.3)

    

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde [AC][DB]= {P} , [AC]=e [BD]=f ise

         A(ABCD)= e. f. sin  (Şek.4)

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde S₁.S₃ = S₂.S₄ tür. (Şek.5)

*Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir ın köşeleridir.(Şek.6)

*Bir dörtgende karşılıklı iki açı dik ise, bu açıların bitişik kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.(Şek.7)

 İSPAT: ADC üçgeninde  [AC]² =[DA]² + [DC]²

              ABC üçgeninde   [AC]² =[AB]² + [BC]²           Buradan;

               [AB]² + [BC]² = [DC]² + [DA]² elde edilir.

*Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.(Şek.8)

 İSPAT: AOB üçgeninde [AB]² = [AO]² + [BO]²   DOC üçgeninde [DC]² = [DO]² + [OC]² taraf tarafa toplanırsa

                 [AB]² + [DC]² = [AO]² + [DO]² +[BO]² +[OC]² (1)

              AOD üçgeninde [AD]² = [AO]² + [DO]²   BOC üçgeninde [BC]² = [BO]² + [OC]² taraf tarafa toplarsak

                [AD]² + [BC]² = [AO]² +[DO]² + [BO]² + [OC]² (2)

(     1)     ve (2) eşitliklerinin sağ taraflarının eşit olduğunu görüyoruz. Öyleyse;

                [AB]² + [CD]² = [BC]² + [DA]²

 *Bir dörtgende karşılıklı iki kenar ile köşegenlerin orta noktaları bir paralel kenarın köşeleridir. Bu paralel kenarın çevresi, dörtgenin diğer iki kenar uzunluğunun toplamı kadardır.(Şek.9)

İSPAT: E,F,G,H sırasıyla [AB],[BD], [CD] ve [AC] nin orta noktalarıdır.

               CAB üçgeninde EH // BC        CDB üçgeninde GF // BC  ise EF // GF (1)

               DAC üçgeninde GH // DA       DAB üçgeninde EF // DA ise GH // EF (2)

(     1)     ve (2)’den EFGH paralel kenar olur. Bu paralel kenarın çevresi de [AD] + [BC] ‘dir.

*ABCD dışbükey dörtgeninin iç bölgesindeki herhangi bir nokta P ise (Köşegenlerin kesim noktası dışında);

         [PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] ‘dir. (Şek.10)

 İSPAT: PAC üçgeninde [PA] + [PC] > [AC] ve PBD üçgeninde [PB] + [PD] > [BD] dir. Taraf tarafa toplarsak

         [PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] bulunur.

 Not: P noktası köşegenlerin kesim noktası ise bu durumda  [PA] + [PB] + [PC] + [PD] = [AC] + [BD] olur.

 *ABCD dörtgeninin [AC] ve [BD] köşegenlerinin orta noktaları E ve F, [EF]= x ,[BD]= f, [AC]= e ise

          ‘dir. (Şek.11)

İSPAT: A ile F’ yi; F ile de C’ yi birleştirelim.[AF]= m,[FC]= n olsun.

ABD üçgeninde kenarortay teoremine göre         (1)

DBC üçgeninde kenarortay teoremine göre           (2)

(1) ve (2)’den                                                2 (m²+n²)=a²+b²+c²+d²-f²   (3)

FAC üçgeninde kenarortay teoremine göre ’dir. Buradan  4x² = 2(m²+n²) -e² yazılabilir. 2(m²+n²)   yerine (3)’de bulduğumuz eşitlikle yazarsak    4x² = a²+b²+c²+d²-f²-e² olur. Buradan da   

         bulunur.

 

Geometri Üçgenler Konu Anlatımı

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir.
AB] È[AC]È [BC] = ABC dir. 
Burada;
A, B, C noktaları üçgenin
köşeleri,
[AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin
kenarlarıdır.
BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır. 
|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c

uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir. iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir. 

ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin kendisi, iç bölge, dış bölge, olmak üzere üç bölgeye ayırır. ABC È {ABC iç bölgesi} = (ABC) (üçgensel bölge)

• ÜÇGEN ÇEŞiTLERi

1. Kenarlarına göre üçgen çeşitleri
a. Çeşitkenar üçgen 
Üç kenar uzunlukları da farklı olan üçgenlere denir.




b. ikizkenar Üçgen 
Herhangi iki kenar uzunluklarıeşit olan üçgenlere denir.




c. Eşkenar Üçgen 
Üç kenar uzunluklarıda eşit olan üçgenlere denir.




2. Açılarına göre üçgenler
a. Dar açılı üçgen 
Üç açısının ölçüsü de 90° den küçük olan üçgenlere dar açılıüçgen denir.




b. Dik açılı üçgen 
Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit olan üçgenlere denir. 
Dik üçgen olarak adlandırılır.



c. Geniş açılı üçgen 
Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere denir.
Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir.

• ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI ELEMANLARI

Üçgenin kenarları’ na ve açıları’ na temel elemanlar, Yükseklik, kenarortay ve açıortaylarına yardımcı elemanlar denir.

1. Yükseklik 
Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.

ha ® a kanarına ait yükseklik.
hc ® c kenarına ait yükseklik
yüksekliklerin kesim noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir.


2. Açıortay
Üçgenin bir köşesindeki açıyıiki eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayıdenir.
nA ® A köşesine ait iç açıortay 
n'A ® A köşesine ait dış açıortay



3. Kenarortay

Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir.

|AD| = Va , |BE| = Vb olarak ifade edilir.

Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

|BC| = a (hipotenüs) 





ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ
1. Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı180° dir.
[AD // [BC] olduğundan,
iç ters ve yöndeş olan açılar bulunur.
a + b + c = 180°

m(A) + m(B) + m(C) = 180°

Üçgenin iç açılarının toplamı180° dir.
İç açılara komşu ve bütünler olan açılara dış açı denir.

2. Üçgende dış açıların ölçüleri toplamı360° dir.

a' + b' + c' = 360°

m(DAF)+m(ABE)+m(BCF)=360°

3. Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

[AB] // [CE olduğundan

m(ACD)=a+b

m(DAC) = m(A') = b + c
m(DBE) = m(B') = a + c
m(ECF) = m(C') = a + b

Yandaki şekilde a, b, c bulundukları açıların ölçüleri ise,

m(BDC) = a+b+c

4. iki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen denir.ABC üçgeninde: 

lABl=lACl Ûm(B)=m(C)

Burada A açısına ikizkenar üçgenin tepe açısı, [BC] kenarına ise tabanıdenir.
Tepe açısına m(BAC) = a dersek
Taban açıları

5. Üç kenarıeş olan üçgene eşkenar üçgen denir.

ABC üçgeninde

|AB| = |BC| = |AC|
m(A) = m(B) = m(C) = 60°

Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin bütün özelliklerini taşır.

• ÜÇGENDE AÇIORTAYLAR

1. Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin içteğet çemberinin merkezidir.


Açıortayların kesiştiği noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunluklarıeşittir. (Çemberin yarıçapı)
2. Üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin dıştan teğet çemberlerinden birinin merkezidir. (Üç dış teğet çember vardır.)

[AD], [BD] ve [CD] açıortaylarından herhangi ikisi verildiğinde üçüncüsünün de kesinlikle açıortaydır.

3. iki iç açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninde ve BDC üçgeninde iç açılar toplamı yazılırsa 

4. iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninin dış açılar toplamıve BDC üçgeninin iç açılar toplamını yazarsak 

5. Bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı,

ABC üçgeninin C açısının dış açıortayı ile B açısının iç açıortayı arasındaki açının ölçüsü A açısının ölçüsünün yarısıdır.

• Burada D noktası dış teğet çemberlerden birinin merkezi olduğundan, A dan çizilen dış açıortayda D noktasından geçer.

6. Açıortayla yükseklik arasında kalan açı; ABC üçgeninde [AD] A açısına ait açıortay ve [AH] yüksekliktir.

Açıortayla yükseklik arasındaki açıya m(HAD) = x dersek

Bir açı ve açıortayını başka bir doğrunun kestiği durumlarda dış açı özelliği kullanılarak bütün açılar bulunabilir.